{"id":233782,"date":"2022-06-22T17:15:58","date_gmt":"2022-06-22T15:15:58","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=233782"},"modified":"2025-09-29T11:57:55","modified_gmt":"2025-09-29T09:57:55","slug":"manipuler-une-borne-inferieure-et-superieure","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/manipuler-une-borne-inferieure-et-superieure\/","title":{"rendered":"Comment manipuler une borne inf\u00e9rieure et sup\u00e9rieure ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous cherchez \u00e0 manipuler une borne inf\u00e9rieure et sup\u00e9rieure<\/strong> dans vos exercices ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la manipulation d’une borne inf\u00e9rieure et sup\u00e9rieure<\/strong>, il vous sera facile d’\u00e9tudier des suites complexes gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodes adapt\u00e9es.<\/p>\n

Pour aller plus loin plonge-toi dans les subtilit\u00e9s des bornes inf\u00e9rieures et sup\u00e9rieures avec un cours de maths<\/strong><\/a> qui te transformera en expert des suites complexes. \ud83d\udcc9<\/span><\/p>\n\n\n\n

M\u00e9thode 1 : Manipuler les bornes sup\u00e9rieures\/inf\u00e9rieures.<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"A\" un ensemble non vide de \"\mathbb{R}\" et born\u00e9. Soit \"B = \left\{ \left| x-y \right|, \; \left( x, y \right) \in A^2 \right\}\".\n\n\n\n

Application de la m\u00e9thode<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nDonnons la borne sup\u00e9rieure et inf\u00e9rieure de \"B\".\n

  • On a \"B \subset \mathbb{R}_+\" et \"0 \in B\", donc la borne inf\u00e9rieure de \"B\" est \"0\". <\/li>\n \n \n
  • Comme \"A\" est born\u00e9 et \"A\" est non vide, \"B\" est non vide et major\u00e9, donc \"B\" admet une borne sup\u00e9rieure. De plus, pour tous \"x,y \in A\" avec \"x \le y\", on a \"\left| x - y \right| = y- x\le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)\", donc \"\sup \left( B \right) \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)\". <\/li>\n \nSoit \"\varepsilon >0\". D’apr\u00e8s la caract\u00e9risation de la borne sup\u00e9rieure et de la borne inf\u00e9rieure, il existe \"x_1\" et \"y_1\" dans \"A\" tels que \"x_1 \le y_1\" et \"\inf \left( A \right) \le x_1 \le \inf \left( A\right)+ \varepsilon\" et \"\sup \left( A \right) - \varepsilon \le y_1 \le \sup \left( A \right)\". On a donc \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\sup \left( A \right) - \inf \left( A \right) - 2 \varepsilon \le y_1 - x_1= \left| y_1 - x_1 \right| \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).\]\"<\/p>\n D’apr\u00e8s la caract\u00e9risation de la borne sup\u00e9rieure, on a \"\sup \left( B \right) = \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)\".\n\n\n\n

    M\u00e9thode 2 : \u00c9tude d’une suite du type \"u_{n+1}= f \left(u_n \right)\"<\/h2>\n\n\n\n

    <\/p>\nDans cet exemple, nous allons \u00e9tudier une suite du type \"u_{n+1} = f \left( u_n \right)\". On pourra retenir le plan d’\u00e9tude utilis\u00e9 ici.\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode <\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Etude des variations de \"f\". Soit \"f : x \mapsto \mathrm{e}^x\". \"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}\". <\/li>\n \n
  • Etude du signe de \"f \left( x \right) -x\". Soit \"g : x \mapsto f \left( x \right) - x\". \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et \"g' \left( x \right) = \mathrm{e}^x -1\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[g ' \left( x \right) \ge 0 \iff x \ge 0 .\]\"<\/p>\n Il s’ensuit que \"g\" est d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}_-\" et croissante sur \"\mathbb{R}_+\", ainsi \"g\" atteint un minimum global en \"0\", donc \"g \left( x \right) \ge g \left(0 \right) = 1\". En particulier, \"f \left( x \right) \ge x\" pour tout r\u00e9el \"x\". <\/li>\n \n \n

  • Sens de variation de \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\". En prenant \"x=u_n\", on a \"u_{n+1} = f \left( u_n \right) \ge u_n\", donc la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est croissante. <\/li>\n \n \n
  • Limite de \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\". Montrons que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" diverge vers \"+ \infty\". <\/li>\n \nOn suppose que la suite \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" est major\u00e9e, d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de la limite monotone, \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" vers un r\u00e9el \"\ell\". Par continuit\u00e9 de \"f\", on a \"\ell = f \left( \ell \right)\", soit \"g \left( \ell \right) = 0\". Or, l’\u00e9quation \"g \left( x \right) = 1\" n’a pas de solution r\u00e9elle car pour tout r\u00e9el \"x\", \"g \left( x \right) \ge 1\".
    \n \nOn en d\u00e9duit que \"\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" n’est pas major\u00e9e. Comme elle est croissante, elle diverge vers \"+\infty\".\n\n\n\n

    M\u00e9thode 3 : \u00c9tude d’une suite d\u00e9finie implicitement.<\/h2>\n\n\n\n

    Dans cet exemple, nous allons \u00e9tudier une suite d\u00e9finie comme l’unique solution d’une \u00e9quation.<\/p>\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn se propose d’\u00e9tudier la suite \"\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" o\u00f9 \"x_n\" est l’unique solution de l’\u00e9quation \"\tan \left( x \right) = x\" dans l’intervalle \"\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[\".\n

  • Existence de \"x_n\". Soit \"n \in \mathbb{N}\" et \"f : x \mapsto \tan \left( x \right) - x\". \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[\" et

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[, \quad f_n ' \left( x \right) = \tan^2 \left( x \right).\]\"<\/p>\n Comme \"\tan^2 \left( x \right) > 0\" pour tout \"x \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[ \backslash \left\{ n \pi \right\}\", on en d\u00e9duit que \"f\" est strictement croissante sur \"\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[\". Or, \"\lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^+ } f \left( x \right) = - \infty\" et \"\lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^-} f \left( x \right) = + \infty\".
    \nLe th\u00e9or\u00e8me de la bijection assure que l’\u00e9quation \"f \left( x \right) = 0\" admet une unique solution dans l’intervalle \"\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[\". <\/li>\n \n \n

  • Limite de la suite \"\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\". Comme \"x_n \ge n \pi - \dfrac{\pi}{2}\" et \"\lim\limits_{n \to + \infty} \left( n \pi - \dfrac{\pi}{2} \right) = + \infty\", par comparaison, on en d\u00e9duit que la suite \"\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\" diverge vers \"+ \infty\". <\/li>\n \n \n
  • Comme \"x_n \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[\" et \"\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi - \pi /2}{n \pi} = 1\" et \"\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi + \pi /2}{n \pi} = 1\", le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement assure que \"\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n \pi}=1\". <\/li>\n\n\n\n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    \n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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