{"id":233244,"date":"2022-06-28T17:18:24","date_gmt":"2022-06-28T15:18:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=233244"},"modified":"2025-10-25T12:47:52","modified_gmt":"2025-10-25T10:47:52","slug":"dresser-un-tableau-de-variations-dune-fonction","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/dresser-un-tableau-de-variations-dune-fonction\/","title":{"rendered":"Comment dresser un tableau de variations d\u2019une fonction ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous souhaitez conna\u00eetre les variations d’une fonction ? Rassurez-vous, vous \u00eates au bon endroit ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours, vous saurez ais\u00e9ment comment dresser un tableau de variations d’une fonction\u00a0<\/strong>gr\u00e2ce \u00e0 une m\u00e9thode adapt\u00e9e et \u00e0 des conseils m\u00e9thodologiques de pointe !<\/p>\n\n\n\n

M\u00e9thode : Dresser le tableau de variations d’une fonction <\/h2>\n\n\n\n

Conseils m\u00e9thodologiques : tableau de variations d’une fonction<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\".\n

  • On \u00e9tudie la d\u00e9rivabilit\u00e9 de la fonction sur \"I\". <\/li>\n
  • On calcule l’expression de \"f'\" que l’on factorise si possible. <\/li>\n
  • On dresse le tableau de signe de \"f'\" sur \"I\". <\/li>\n
  • On en d\u00e9duit le tableau de variation de \"f\" de \"I\". <\/li>\n\n\n\n

    Conna\u00eetre le tableau de variation d\u2019une fonction est utile pour deux situations particuli\u00e8res que nous
    d\u00e9taillons dans les deux exemples.<\/p>\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode : d\u00e9terminer des extremums.<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nD\u00e9terminer le maximum de la fonction \"f: x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}\".
    \nLa fonction \"f\" est d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*\" (comme quotient de fonctions d\u00e9rivables sur \"\mathbb{R}_+^*\", le d\u00e9nominateur ne s’y annulant pas). De plus :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\;f'(x)=\dfrac{x\times 1/x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}.\]\"<\/p> \nUn carr\u00e9 \u00e9tant toujours positif, \"f'(x)\" est du m\u00eame signe que \"1-\ln(x)\". On \u00e9tudie le signe de cette expression : \"1-\ln(x)\ge 0\Longleftrightarrow \ln(x)\le 1\Longleftrightarrow x\le \e.\"\nNotons que (le calcul de ces limites sera pr\u00e9sent\u00e9 ult\u00e9rieurement): \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty, \;\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,\;f(\e)=\e^{-1}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn en d\u00e9duit le tableau de variation de \"f\" :\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    <\/p>\nLa fonction \"f\" admet \"e^{-1}\" pour maximum atteint pour \"x=e\".\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode : d\u00e9terminer des in\u00e9galit\u00e9s.<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nMontrons que pour tout \"x\in\mathbb{R}_+\", \"\sin(x)\le x\".
    \nOn consid\u00e8re la fonction \"g:x\mapsto x-\sin(x)\", d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" (comme diff\u00e9rence de fonctions d\u00e9rivables sur \"\mathbb{R}\"). De plus :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},\;g'(x)=1-\cos(x).\]\"<\/p> \nUn cosinus prend ses valeurs dans l’intervalle \"[-1,1]\", donc \"g'(x)\" est toujours positif.
    \nLa fonction \"g\" est croissante sur \"\mathbb{R}\" et \"g(0)=0\". on en d\u00e9duit que :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R}_+,\;g(x)\ge g(0)\Longleftrightarrow x-\sin(x)\ge 0\Longleftrightarrow \sin(x)\le x.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

    Comprendre les variations d’une fonction peut \u00eatre crucial pour tes \u00e9tudes en pr\u00e9pa : \u00e9claire-toi avec un cours de soutien en math\u00e9matiques<\/a> <\/strong>sp\u00e9cialement con\u00e7u pour les \u00e9l\u00e8ves de MPSI-MP2I ! \ud83d\udcc9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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