{"id":233242,"date":"2022-06-17T12:49:21","date_gmt":"2022-06-17T10:49:21","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=233242"},"modified":"2025-09-29T11:52:57","modified_gmt":"2025-09-29T09:52:57","slug":"theoreme-de-rolle-et-accroissements-finis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theoreme-de-rolle-et-accroissements-finis\/","title":{"rendered":"Th\u00e9or\u00e8me de Rolle et accroissements finis"},"content":{"rendered":"\n

As-tu d\u00e9j\u00e0 senti que les d\u00e9monstrations en math\u00e9matiques \u00e9taient un Everest \u00e0 conqu\u00e9rir ? Avec des cours particuliers de maths en ligne<\/strong><\/a>, tu peux gravis cette montagne sereinement et ma\u00eetriser ces concepts aussi ais\u00e9ment que ton propre pr\u00e9nom. \ud83c\udf1f<\/p>\n

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Th\u00e9or\u00e8me de Rolle<\/h2>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me : Th\u00e9or\u00e8me de Rolle<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoient \"a<b\" des r\u00e9els et \"f:[a,b]\to\mathbb{R}\" une fonction. Si\n

  • \"f\" est continue sur \"[a,b]\"; <\/li>\n
  • \"f\" est d\u00e9rivable sur \"]a,b[\"; <\/li>\n
  • \"f(a)=f(b)\"; <\/li>\nalors, il existe \"c\in ]a,b[\" tel que \"f'(c)=0\".\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nLa fonction \"f\" est continue sur le segment \"[a,b]\", donc, par le th\u00e9or\u00e8me des bornes atteintes, il existe \"(\alpha,\beta)\in[a,b]^2\" tel que :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in[\alpha,\beta],\, f(\alpha)\leq f(x)\leq f(\beta).\]\"<\/p>\nIl y a trois cas. \n

  • \"Cas~1\" : \"\alpha\notin\{a,b\}\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"\alpha\", poss\u00e8de un minimum (local) en \"\alpha\" et \"\alpha\" n’est pas une extr\u00e9mit\u00e9 de \"[a,b]\".\nDonc, par le th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent, \"f'(\alpha)=0\". <\/li>\n
  • \"Cas~2\" : \"\alpha\in\{a,b\}\" et \"\beta\notin\{a,b\}\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"\beta\", poss\u00e8de un maximum (local) en \"\beta\" et \"\beta\" n’est pas une extr\u00e9mit\u00e9 de \"[a,b]\".\nDonc, par le th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent, \"f'(\beta)=0\". <\/li>\n
  • \"Cas~3\" : \"\alpha\in\{a,b\}\" et \"\beta\in\{a,b\}\". Dans ce cas, comme \"f(a)=f(b)\", on a \"f(\alpha)=f(\beta)\". Donc, \"f\" est constante. Donc, tout point \"c\in ]a,b[\" v\u00e9rifie \"f'(c)=0\". <\/li>\nDans tous les cas, il existe \"c\in ]a,b[\" tel que \"f'(c)=0\".\n\n\n\n

    Remarques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Dans le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, le point \"c\" n’est pas n\u00e9cessairement unique. <\/li>\n
  • Si une fonction v\u00e9rifie le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, alors son graphe poss\u00e8de une tangente horizontale. <\/li>\n
  • On consid\u00e8re un point mobile se d\u00e9pla\u00e7ant sur une droite. Sa position \u00e0 l’instant \"x\" est not\u00e9e \"f(x)\".
    \nOn suppose qu’aux instants \"a\" et \"b\" le mobile se trouve \u00e0 la m\u00eame position. Si \"f\" est continue sur \"[a,b]\" et est d\u00e9rivable sur \"]a,b[\", alors il existe un instant \"c\" o\u00f9 la vitesse instantan\u00e9e du mobile est nulle : \"f'(c)=0\". <\/li>\n\n\n\n

    \u00c9galit\u00e9 et in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis<\/h2>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me : \u00c9galit\u00e9 des accroissements finis<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"a<b\" des r\u00e9els et \"f:[a,b]\to\mathbb{R}\" une fonction. Si\n

  • \"f\" est continue sur \"[a,b]\"; <\/li>\n
  • \"f\" est d\u00e9rivable sur \"]a,b[\"; <\/li>\nalors, il existe \"c\in ]a,b[\" tel que \"f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\".\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn consid\u00e8re la fonction \"g:\begin{array}[t]{cll}
    \nLa fonction \"g\" est continue sur \"[a,b]\", d\u00e9rivable sur \"]a,b[\" et \"g(a)=f(a)=g(b)\".
    \n\nDonc, par th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"c\in]a,b[\" tel que \"g'(c)=0\". D’o\u00f9 \"f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\".\n\n\n\n

    Remarques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Dans l’\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis, le point \"c\" n’est pas n\u00e9cessairement unique. <\/li>\n
  • Si une fonction v\u00e9rifie l’\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis, alors son graphe poss\u00e8de une tangente de m\u00eame pente que la s\u00e9cante passant par les points \"\big(a,f(a)\big)\" et \"\big(b,f(b)\big)\". <\/li>\n
  • On consid\u00e8re un point mobile se d\u00e9pla\u00e7ant sur une droite. Sa position \u00e0 l’instant \"x\" est not\u00e9e \"f(x)\".
    \nSi \"f\" est continue sur \"[a,b]\" et est d\u00e9rivable sur \"]a,b[\", alors il existe un instant \"c\" o\u00f9 la vitesse instantan\u00e9e du mobile est \u00e9gale \u00e0 sa vitesse moyenne entre les instants \"x\" et \"a\", soit : \"f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\". <\/li>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me : In\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"f:I\to\mathbb{R}\" une fonction telle que :\n

  • \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\"; <\/li>\n
  • il existe \"C\in\mathbb{R}\" tel que \"|f'|\" est major\u00e9e par \"C\",
    \nalors, pour tout \"(x,y)\in I^2\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|f(x)-f(y)|\leq C |x-y|.\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"(x,y)\in I^2\". Si \"x=y\", l’in\u00e9galit\u00e9 est claire. Dans la suite, on suppose \"x\neq y\". Sans perdre de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, on peut supposer que \"x<y\".
    \n\nD’apr\u00e8s l’\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis, il existe \"c\in ]x,y[\" tel que, \"\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c)\".
    \n\nOr, \"|f'|\" est major\u00e9e par \"C\".
    \n\nDonc, \"\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\leq C\".\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Fonction lipschitzienne<\/a><\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to\mathbb{R}\" une fonction et \"k\in\mathbb{R}_+\".\n

  • On dit que \"f\" est \"k\"-lipschitzienne lorsque : pour tout \"(x,y)\in I^2\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|f(x)-f(y)|\leq k |x-y|.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • On dit que \"f\" est lipschitzienne lorsqu’il existe \"k\in\mathbb{R}_+\" tel que \"f\" est \"k\"-lipschitzienne. <\/li>\n\n\n\n

    Exemples <\/h4>\n\n\n\n

    D\u2019apr\u00e8s l\u2019in\u00e9galit\u00e9 triangulaire, la fonction valeurs absolue est 1-lipschitzienne.<\/p>\n\n\n\n

    Remarques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Une fonction lipschitzienne est continue.
    \nSoit \"a\in I\". On a, pour tout \"x\in I\", \"|f(x)-f(a)|\leq k |x-a|.\" Par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"f(x)\xrightarrow[x\to a]{}f(a)\". <\/li>\n
  • On peut reformuler l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis : si \"f:I\to\mathbb{R}\" est d\u00e9rivable et si \"f'\" est born\u00e9e sur \"I\", alors \"f\" est lipschitzienne. <\/li>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nLa fonction \"\sin\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et \"|\sin'|=|\cos|\leq 1\".
    \n\nDonc, par l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis, \"\sin\" est 1-lipschitzienne : pour tout \"(x,y)\in I^2\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|.\]\"<\/p>\nEn particulier, pour tout \"x\in\mathbb{R}\", \"|\sin(x)|\leq |x|\".\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    As-tu d\u00e9j\u00e0 senti que les d\u00e9monstrations en math\u00e9matiques \u00e9taient un Everest \u00e0 conqu\u00e9rir ? Avec des cours particuliers (…)<\/p>\n","protected":false},"author":158,"featured_media":165970,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":true,"footnotes":""},"category":[803,810],"tag":[78,345],"class_list":["post-233242","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-apprendre-matiere","category-maths","tag-prepa","tag-prepa-scientifique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/233242","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/158"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=233242"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/233242\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/165970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=233242"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/category?post=233242"},{"taxonomy":"tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tag?post=233242"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}