{"id":232963,"date":"2022-06-22T17:15:39","date_gmt":"2022-06-22T15:15:39","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=232963"},"modified":"2025-09-29T11:34:11","modified_gmt":"2025-09-29T09:34:11","slug":"methode-de-denombrement","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/methode-de-denombrement\/","title":{"rendered":"M\u00e9thode de d\u00e9nombrement : MPSI"},"content":{"rendered":"\n

Tu cherches une m\u00e9thode de d\u00e9nombrement <\/strong>? Dans cet article nous t’en pr\u00e9sentons m\u00eame deux ! N’oublie pas d’appliquer ce que tu as appris en faisant des exercices corrig\u00e9s. Ainsi, tu auras toutes les cartes en main pour r\u00e9ussir ta prochaine interro de maths ! <\/p>\n\n\n\n

Pour aller encore plus loin, d\u00e9couvre les m\u00e9thodes de d\u00e9nombrement les plus efficaces et pr\u00e9pare-toi \u00e0 r\u00e9soudre des probl\u00e8mes complexes en t’aidant de nos cours de soutien scolaire en maths<\/a><\/strong>. \ud83e\udde0<\/p>\n\n\n\n

M\u00e9thode 1. D\u00e9nombrement d’une situation.<\/h2>\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\nPour tout \"n\in\mathbb{N}^*\", on note \"d_n\" le nombre de parties de \"[\![1;n]\!]\" ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs. On se propose de donner une expression explicite de \"d_n\" en fonction de \"n\".\nOn choisit une partie \"A\" de \"[\![1;n+2]\!]\" ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs.\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\nOn discute que \"n+2\" appartienne \u00e0 \"A\" ou non.\n\n
  • Si \"n+2\" n’appartient pas \u00e0 \"A\", alors pour choisir \"A\", il faut et il suffit de choisir une partie de \"[\![1;n+1]\!]\", ce que l’on peut faire de \"d_{n+1}\" fa\u00e7ons. <\/li>\n\n
  • Si \"{n+2}\in\mathbb{A}\", alors \"{n+1}\notin\mathbb{A}\". Pour choisir \"A\", il faut et il suffit de choisir une partie \"A\" de \"[\![1;n]\!]\" ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs et d’y ajouter \"n+2\", ce que l’on peut faire de \"d_n\" fa\u00e7ons. <\/li>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\nDonc \"d_{n+2}=d_{n+1}+d_n\"\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\nOr, \"d_1=2\" (il y a deux parties de {1} ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs: {1} et \"\O\") et \"d_2=3\" (il y a trois parties de {1,2} ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs: {1}, {2} et \"\O\").\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\n\"(d_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre 2 \u00e0 coefficients constants dont l’\u00e9quation caract\u00e9ristique est \"r^2=r+1\". Les racines sont \"\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\", ainsi il existe deux r\u00e9els \"A\" et \"B\" tels que \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nEn utilisant les valeurs de \"d_1\" et \"d_2\", on a \"A=\frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\" et \"B=\frac{\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}}\", d’o\u00f9\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n\n\n\n

    M\u00e9thode 2. Utilisation dans un cadre abstrait.<\/h2>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\nSoit \"(A,+,\times)\" un anneau commutatif fini et int\u00e8gre, i.e. tel que : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nMontrons que \"A\" est un corps.\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n\nSoit \"a \in A\" non nul. Soit \"f:x \in A\longmapsto ax\". Soit \"(x,y)\in {A}^2\" tel que \"f(x)=f(y)\". On a donc \"a\times(x-y)=0\". Or, \"a\ne 0\", donc par hypoth\u00e8se, \"x-y=0\", puis \"x=y\"\nOn a montr\u00e9 que \"f\" est injective. Comme \"A\" est fini, d’apr\u00e8s une proposition, \"f\" est surjective. il s’ensuit que 1 admet un ant\u00e9c\u00e9dent par \"f\" : il existe \"x_0 \in A\" tel que \"1 = f(x_0) = ax_0\". Par commutativit\u00e9, on a \"ax_0 = x_0a = 1\", donc \"a\" est inversible.\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\nOn a montr\u00e9 que tout \u00e9l\u00e9ment non nul est inversible, donc \"a\" est un corps.\n\n\n\n
    \n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n\n\n\n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    \n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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