{"id":232963,"date":"2022-06-22T17:15:39","date_gmt":"2022-06-22T15:15:39","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=232963"},"modified":"2024-08-28T22:45:58","modified_gmt":"2024-08-28T20:45:58","slug":"methode-de-denombrement","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/methode-de-denombrement\/","title":{"rendered":"M\u00e9thode de d\u00e9nombrement : MPSI"},"content":{"rendered":"\n
Tu cherches une m\u00e9thode de d\u00e9nombrement <\/strong>? Dans cet article nous t’en pr\u00e9sentons m\u00eame deux ! N’oublie pas d’appliquer ce que tu as appris en faisant des exercices corrig\u00e9s. Ainsi, tu auras toutes les cartes en main pour r\u00e9ussir ta prochaine interro de maths ! <\/p>\n\n\n\n Pour aller encore plus loin, d\u00e9couvre les m\u00e9thodes de d\u00e9nombrement les plus efficaces et pr\u00e9pare-toi \u00e0 r\u00e9soudre des probl\u00e8mes complexes en t’aidant de nos cours de soutien scolaire en maths<\/a><\/strong>. \ud83e\udde0<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\nM\u00e9thode 1. D\u00e9nombrement d’une situation.<\/h2>\n\n\n\n
, on note
le nombre de parties de
ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs. On se propose de donner une expression explicite de
en fonction de
.\nOn choisit une partie
de
ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs.\n\n\n\n
appartienne \u00e0
ou non.\n\n
n’appartient pas \u00e0
, alors pour choisir
, il faut et il suffit de choisir une partie de
, ce que l’on peut faire de
fa\u00e7ons. <\/li>\n\n
, alors
. Pour choisir
, il faut et il suffit de choisir une partie
de
ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs et d’y ajouter
, ce que l’on peut faire de
fa\u00e7ons. <\/li>\n\n\n\n
\n\n\n\n
(il y a deux parties de {1} ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs: {1} et
) et
(il y a trois parties de {1,2} ne contenant pas deux entiers cons\u00e9cutifs: {1}, {2} et
).\n\n\n\n
est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre 2 \u00e0 coefficients constants dont l’\u00e9quation caract\u00e9ristique est
. Les racines sont
, ainsi il existe deux r\u00e9els
et
tels que \n
<\/p>\nEn utilisant les valeurs de
et
, on a
et
, d’o\u00f9\n
<\/p>\n\n\n\n
M\u00e9thode 2. Utilisation dans un cadre abstrait.<\/h2>\n\n\n\n
un anneau commutatif fini et int\u00e8gre, i.e. tel que : \n
<\/p>\nMontrons que
est un corps.\n\n\n\n
non nul. Soit
. Soit
tel que
. On a donc
. Or,
, donc par hypoth\u00e8se,
, puis
\nOn a montr\u00e9 que
est injective. Comme
est fini, d’apr\u00e8s une proposition,
est surjective. il s’ensuit que 1 admet un ant\u00e9c\u00e9dent par
: il existe
tel que
. Par commutativit\u00e9, on a
, donc
est inversible.\n\n\n\n
est un corps.\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n