{"id":217272,"date":"2022-03-28T17:20:11","date_gmt":"2022-03-28T15:20:11","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=217272"},"modified":"2023-11-30T14:04:35","modified_gmt":"2023-11-30T13:04:35","slug":"etude-dune-fonction-exponentielle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/etude-dune-fonction-exponentielle\/","title":{"rendered":"Comment d\u00e9river une fonction exponentielle ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous souhaitez conna\u00eetre les \u00e9l\u00e9ments essentiels relatifs \u00e0 l‘\u00e9tude d’une fonction exponentielle\u00a0<\/strong>? Sa d\u00e9riv\u00e9e, ses variations, ainsi que ses limites ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours de math\u00e9matiques d\u00e9di\u00e9 \u00e0 l’\u00e9tude d’une fonction exponentielle<\/strong>, r\u00e9pondez \u00e0 toutes vos interrogations !<\/p>\n

Et si jamais vous trouvez les variations de la fonction exponentielle ardues, sachez qu’elles peuvent \u00eatre simplifi\u00e9es avec l’aide d’un soutien scolaire en math\u00e9matiques<\/strong><\/a>\u00a0personnalis\u00e9. \ud83d\udcc8<\/p>\n\n\n\n

La fonction exponentielle<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\nLa fonction \"\ln\" est continue et strictement croissante sur \"\mathbb{R}_+^*\" et \"\ln(\mathbb{R}_+^*)=\mathbb{R}\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, la fonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien r\u00e9alise une bijection de \"\mathbb{R}_+^*\" sur \"\mathbb{R}\". On appelle fonction exponentielle, not\u00e9e \"\exp\", la bijection r\u00e9ciproque de la fonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien.\n\n\n\n

Proposition<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nLa fonction \"\exp\" est d\u00e9finie et de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"\R\". Pour tout \"x\in\R\", on a :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(\exp)'(x)=\exp(x).\]\"<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration <\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nLa fonction \"\ln\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*\" et sa d\u00e9riv\u00e9e ne s’annule pas sur \"\mathbb{R}_+^*\", donc sa fonction r\u00e9ciproque est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\". Ainsi :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\R, \;(\exp)'(x)=\dfrac{1}{(\ln)'(\exp(x))}=\dfrac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x).\]\"<\/p>\nLa fonction \"\exp\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", elle est donc continue sur \"\mathbb{R}\", ce qui justifie que \"\exp\" est de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"\mathbb{R}\".\n\n\n\n

Remarque <\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nLa d\u00e9finition m\u00eame de la fonction exponentielle nous assure que :\n\"\forall x\in\mathbb{R}\", \"\exp(x)>0\".\n\n\n\n

Proposition <\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nPour tout \"(x,y)\in\mathbb{R}^2\", on a :\n

  • \"\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\"; <\/li>\n
  • \"\displaystyle\exp\left(-x\right)=\dfrac{1}{\exp(x)}\"; <\/li>\nPour tout \"x\in\R\", \"\exp(x)\ge 1+x\"; \n
  • \"\forall n\in\Z\", \"\exp(x)^n=\exp(nx)\"; <\/li>\n
  • \"\displaystyle\exp\left(x-y\right)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\"; <\/li>\n
  • \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0\"; <\/li>\n
  • \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Soient \"(x,y)\in\mathbb{R}\", on va montrer que : \"\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\". On pose \"a=\exp(x)\" et \"b=\exp(y)\" de sorte que : \"x=\ln(a)\" et \"y=\ln(b)\", ainsi : <\/li>\n

  •   <\/span>   <\/span>\"\[\exp(x+y)=\exp(\ln(a)+\ln(b))=\exp(\ln(ab))=ab=\exp(x)\exp(y).\]\"<\/p> <\/li>\n\n

  • La relation \"\displaystyle\exp\left(-x\right)=\dfrac{1}{\exp(x)}\" se d\u00e9duit directement de la pr\u00e9c\u00e9dente.\nOn montre la relation \"\forall n\in\N\", \"\exp(x)^n=\exp(nx)\" par r\u00e9currence, on en d\u00e9duit que cette relation est vraie pour \"n\in\Z\". <\/li>\n\n
  • La relation \"\displaystyle\exp\left(x-y\right)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\" est une cons\u00e9quence des deux premi\u00e8res relations. <\/li>\n\n
  • On \u00e9tudie les variations de la fonction \"g:x\mapsto \exp(x)- (1+x)\" sur \"\R\". <\/li>\n\n
  • Les limites se d\u00e9duisent directement des limites de la fonction \"\ln\". <\/li>\n\n\n\n
    Notation <\/h5>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn note \"\e=\exp(1)\". En utilisant les propri\u00e9t\u00e9s de la fonction exponentielle, on peut montrer que pour tout \"x\in\mathbb{R}\" : \"\exp(x)=\e^x\".
    \nC’est cette notation qui sera privil\u00e9gi\u00e9e dans la suite.\n\n\n\n

    \u00a0<\/p>\n

    Voici la repr\u00e9sentation graphique de la fonction exponentielle (c\u2019est le sym\u00e9trique de la courbe repr\u00e9sentant la fonction ln par rapport \u00e0 la droite d\u2019\u00e9quation y = x ) :<\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n
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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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