{"id":217270,"date":"2022-05-25T17:11:07","date_gmt":"2022-05-25T15:11:07","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=217270"},"modified":"2025-09-29T11:35:13","modified_gmt":"2025-09-29T09:35:13","slug":"module-d-un-nombre-complexe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/module-d-un-nombre-complexe\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce que le module d’un nombre complexe ?"},"content":{"rendered":"\n

Dans cet article, on pr\u00e9sente une partie de la th\u00e9orie sur les nombres complexes<\/strong>. C’est un outil tr\u00e8s puissant que l’on retrouve aussi bien en g\u00e9om\u00e9trie, en analyse, en alg\u00e8bre ou m\u00eame en sciences physiques.  <\/p>\n\n\n\n

Pour approfondir votre compr\u00e9hension des nombres complexes<\/strong>, y compris le complexe conjugu\u00e9 et le module<\/strong>, nos cours particuliers de maths<\/a><\/strong>, qui aborde l’alg\u00e8bre et bien d’autres sujets, est une ressource inestimable. \ud83d\udcd0<\/p>\n\n\n\n

Le corps des nombres complexes<\/h2>\n\n\n\n

Quelques pr\u00e9requis pour comprendre les nombres complexes<\/h3>\n\n\n
\n

Rappel<\/p>\n<\/div>\n

\n

On appelle produit cart\u00e9sien de deux ensembles A<\/em> et B<\/em> l’ensemble, not\u00e9 A x B<\/em>, des couples (a,b<\/em>) o\u00f9 a \u2208 A<\/em> et b \u2208 B<\/em>.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

D\u00e9finition de la Loi de composition interne<\/strong><\/h4>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un ensemble. On appelle loi de composition interne<\/a> une application de \"E\times E\" dans \"E\":\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\n\"\varphi\" : \"E\times E\" \"\rightarrow\" \"E\"\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\n(\"x,\"y) \"\mapsto\" \"x \star\"y.\n\n\n\n

Construction du corps des complexes<\/h3>\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/h4>\n\n\n\n\nNous appellerons corps des nombres complexes, not\u00e9 \"\mathbf{C}\", l’ensemble \"\mathbf{R}^2\" muni de deux lois internes \"\oplus\" et \"\otimes\", d\u00e9finies pour tout \"(a,b)\in\mathbf{R}^2\", \"(a',b')\in\mathbf{R}^2\" par :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]\"<\/p>\n\n\n\n

Remarques <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nEn vue de simplifier les \u00e9critures, dans la suite, nous noterons \"+\" et \"\times\" (notations habituelles) les lois de composition interne \"\oplus\" et \"\otimes\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\nLa notion de corps<\/i> sera vue ult\u00e9rieurement.\n\n\n\n

Pour tout nombre r\u00e9el a<\/em>, nous identifions le nombre complexe (a<\/em>,0) avec le r\u00e9el a<\/em>, et i le nombre complexe (0, 1). En utilisant cette notation et la d\u00e9finition de l’addition et de la multiplication dans C<\/em> d\u00e9finies ci-dessus, on peut \u00e9crire pour tout nombre complexe (a,b)<\/em> : (a,b<\/em>) = a<\/em> + ib<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Le signe \u00e9gal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe a<\/em> + ib<\/em>, c’est ce que l’on appelle la notation alg\u00e9brique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement \u2295 avec le signe + et \u2297 avec x.<\/p>\n\n\n

\n

Proposition<\/p>\n<\/div>\n

\n

Le nombre complexe i v\u00e9rifie i 2<\/sup> = -1.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

D\u00e9monstration<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

On a : <\/p>\n\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]\"<\/p>\n\n\n\n

\u00c9criture alg\u00e9brique d’un nombre complexe<\/h2>\n\n\n\n

Partie r\u00e9elle, partie imaginaire<\/h3>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/h4>\n\n\n\n\nSoit \"z=a+\i b\" un nombre complexe.
\n
  • \"a\" est appel\u00e9 partie r\u00e9elle de \"z\", que l’on notera \"\Re e(z)\".<\/li>\n
  • \"b\" est appel\u00e9 partie imaginaire de \"z\", que l’on notera \"\Im(z)\". On notera que la partie imaginaire est un nombre r\u00e9el.<\/li>\nL’expression \"z = a + \i b\" est appel\u00e9e la forme alg\u00e9brique du nombre complexe \"z\".\n\n\n\n

    Remarque<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    Deux complexes seront \u00e9gaux si, et seulement si, ils ont les m\u00eames parties r\u00e9elles et les m\u00eames parties imaginaires.<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/strong><\/h4>\n\n\n\n\n
  • Un nombre complexe est r\u00e9el si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[z\in \mathbf{R}\Longleftrightarrow \Im(z)=0.\]\"<\/p><\/li>\n

  • Si un nombre complexe a une partie r\u00e9elle nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. On notera \"\i\R\" l’ensemble des\nnombres imaginaires purs :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[z\in\i\mathbf{R}\Longleftrightarrow \Re(z)=0.\]\"<\/p><\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    Cons\u00e9quence directe de la d\u00e9finition d’un nombre complexe.<\/p>\n\n\n\n

    Proposition : Lin\u00e9arit\u00e9 des parties r\u00e9elle et imaginaire<\/strong><\/h4>\n\n\n\n\nSoient \"z\" et \"z'\" deux complexes quelconques et \"\lambda\in\R\". Alors :\n
  • \"\Re e(z+z')=\Re e(z)+\Re e(z')\" <\/li> \n
  • \"\Re e(\lambda z)=\lambda \Re e(z)\".<\/li>\n
  • \"\Im m(z+z')=\Im m(z)+\Im(z')\" <\/li> \n
  • \"\Im m(\lambda z)=\lambda \Im m(z)\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n\nOn pose \"z=a+\i b\" et \"z'=a'+\i b'\", alors : \"z+z'=a+\i b+a'+\i b'=a+a'+\i(b+b')\", ce qui prouve les points de la premi\u00e8re ligne. Le reste se fait de la m\u00eame mani\u00e8re.\n\n\n\n

    Conjugu\u00e9 et module d’un nombre complexe<\/h3>\n\n\n\n

    D\u00e9finition<\/h4>\n\n\n\n\nSoit \"z=a+\i b\" un nombre complexe o\u00f9 \"(a,b)\in\mathbf{R}^2\". \n
  • On appelle complexe conjugu\u00e9 de \"z\" que l’on note \"\overline{z}\" le nombre complexe d\u00e9fini par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\overline{z}=a-\i b.\]\"<\/p><\/li>\n

  • On appelle module de \"z\" que l’on note \"|z|\" le nombre r\u00e9el positif d\u00e9fini par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|z|=\sqrt{a^2+ b^2}.\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n\nPour tout nombre complexe \"z\", on a :\n
  • \"\Re e(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\" <\/li>\n
  • \"\Im m(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2\i}\" <\/li>\n
  • \"\overline{\overline{z}}=z\" <\/li>\n
  • \"|z|^2=z\overline{z}\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Ces r\u00e9sultats s’obtiennent directement \u00e0 partir des expressions alg\u00e9briques.<\/p>\n\n\n\n

    Remarque<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Le dernier point de la proposition pr\u00e9c\u00e9dente permet de v\u00e9rifier que l’inverse d’un nombre complexe est encore un nombre complexe.<\/p>\n\n\n\n\nEn effet, pour tout \"z\in\mathbf{C}^*\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Exemple<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nPour mettre sous forme alg\u00e9brique le complexe \"\dfrac{3+\i}{1-\i}\", on multiplie le num\u00e9rateur et le d\u00e9nominateur par le conjugu\u00e9 du d\u00e9nominateur :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{3+\i}{1-\i}=\dfrac{(3+\i)(1+\i)}{(1-\i)(1+\i)}=\dfrac{2+4\i}{2}=1+2\i.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n\nPour tout nombre complexe \"z\", on a :\n
  • \"z=\overline{z}\Longleftrightarrow z\in\mathbf{R}\" <\/li>\n
  • \"z=-\overline{z}\Longleftrightarrow z\in\i\mathbf{R}\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"z=\Re e(z)+\i \Im m(z)\" un complexe.\n

      <\/span>   <\/span>\"\[z=\overline{z}\Longleftrightarrow \Re e(z)+\i \Im m(z)=\Re e(z)-\i \Im m(z)\Longleftrightarrow \Im m(z)=-\Im m(z) \Longleftrightarrow \Im m(z)=0 \Longleftrightarrow z\in\mathbf{R}$\]\"<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[z=-\overline{z}\Longleftrightarrow \Re e(z)+\i b=-\Re e(z)+\i \Im m(z)\Longleftrightarrow \Re e(z)=-\Re e(z) \Longleftrightarrow \Re e(z)=0 \Longleftrightarrow z\in\i\mathbf{R}$\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n\nPour tous nombres complexes \"z\" et \"z'\", on a :\n
  • \"\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\" <\/li>\n
  • \"\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}\" <\/li>\n
  • \"\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}\", \"z'\neq 0\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Ces r\u00e9sultats s’obtiennent directement \u00e0 partir des expressions alg\u00e9briques.<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n\nPour tout nombre complexe \"z\", on a :\n
  • \"|z|=0\Longleftrightarrow z=0\" <\/li>\n
  • \"|z|=|\overline{z}|\" <\/li>\n
  • \"\Re e(z)\le |\Re e(z)|\le |z|\" <\/li>\n
  • \"\Im m(z)\le |\Im m(z)|\le |z|\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"z\in\mathbf{C}\".\n

  • On pose \"z=a+\i b\", alors \"|z|=0\Longleftrightarrow a^2+b^2=0\Longleftrightarrow a=0\text{ et } b=0\Longleftrightarrow z=0\". <\/li>\n
  • On a \"|z|^2=z\overline{z}=|\overline{z}|^2\". <\/li>\n
  • On remarque que \"\Re e(z)^2\le \Re e(z)^2+\Im m(z)^2=|z|^2\". On conclut en utilisant la stricte croissance de la fonction carr\u00e9e sur \"\mathbf{R}^+\". <\/li>\n
  • On remarque que \"\Im m(z)^2\le \Re e(z)^2+\Im m(z)^2=|z|^2\". On conclut en utilisant la stricte croissance de la fonction carr\u00e9e sur \"\mathbf{R}^+\".<\/li>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n\nPour tous nombres complexes \"z\" et \"z'\", on a :\n
  • \"|zz'|=|z||z'|\". <\/li>\n
  • \"\displaystyle\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}\", \"z'\neq 0\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • Pour tous nombres complexes \"z\" et \"z'\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|zz'|^2=zz'\times \overline{zz'}=z\overline{z}\times z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • Pour tous nombres complexes \"z\" et \"z' \neq 0\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{z\overline{z}}{z'\overline{z'}}=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}.\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Proposition : identit\u00e9 remarquable<\/a><\/h4>\n\n\n\n\nPour tous nombres complexes \"z\" et \"z'\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|z+z'|^2=|z|^2+2\Re e(z\overline{z'})+|z'|^2.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    On applique la formule liant module et conjugu\u00e9 : <\/p>\n\n\n\n\n

      <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n\n\n\n

    Proposition : les in\u00e9galit\u00e9s triangulaires<\/h4>\n\n\n\n\nPour tous nombres complexes \"z\" et \"z'\", on a :\n
  • \"|z+z'|\le |z|+|z'|\". <\/li>\n
  • \"\displaystyle\left||z|-|z'|\right|\le |z-z'|\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • Soient \"z\" et \"z'\" deux nombres complexes. Alors :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|z+z'|^2=|z|^2+2\Re e(z\overline{z'})+|z'|^2.\]\"<\/p>\nOr \"\Re e(z\overline{z'})\le |z\overline{z'}|\". Ainsi :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|z+z'|^2\le|z|^2+2|z\overline{z'}|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2.\]\"<\/p>\nLa fonction carr\u00e9e \u00e9tant strictement croissante sur \"\mathbb{R}^+\", on en d\u00e9duit que :

      <\/span>   <\/span>\"\[|z+z'|\le |z|+|z'|.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • On va utiliser l’in\u00e9galit\u00e9 que l’on vient de d\u00e9montrer. Soient \"z\" et \"z'\" deux complexes :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[|z|=|z-z'+z'|\le |z-z'|+|z'| \text{ et } |z'|=|z'-z+z|\le |z'-z|+|z|.\]\"<\/p>\nAinsi : \"|z|-|z'|\le |z-z'| \text{ et } |z'|-|z|\le |z-z'|.\"
    \nEn conclusion, \"\displaystyle\left||z|-|z'|\right|\le |z-z'|\". <\/li>\n\n\n\n

    Ma\u00eetrise la notion de module et la manipulation des nombres complexes pour exceller dans tes \u00e9tudes scientifiques gr\u00e2ce \u00e0 notre cours de soutien scolaire en ligne<\/a>.<\/strong> \u2728<\/p>\n\n\n\n

    \n
    \n
    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n\n\n\n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n

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    \n 5\/5 - (1 vote) <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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